Question

如图，∠BAC=90°，以AB为直径作⊙O，BD∥OC交⊙O于D点，CD与AB的延长线交于点E．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若BE=2，DE=4，求CD的长；

（3）在（2）的条件下，如图2，AD交BC、OC分别于F、G，求的值．

　

Answer 1

【考点】圆的综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）连接OD，如图1，利用平行线的性质得∠1=∠3，∠2=∠4，加上∠3=∠4，则∠1=∠2，于是可根据“SAS”判定△CDO≌△CAO，则∠CDO=∠CAO=90°，然后根据切线的判定定理可得到CD是⊙O的切线；

（2）设⊙O半径为r，则OD=OB=r，在Rt△ODE中利用勾股定理得到r²+4²=（r+2）²，解得r=3，即OB=3，然后根据平行线分线段成比例定理，由DB∥OC得到DE：CD=BE：OB，于是可计算出CD=6；

（3）如图3，由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6，在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=3，再证明Rt△OAG∽△OCA，利用相似比计算出OG=，则CG=OC﹣OG=，易得BD=2OG=，然后利用CG∥BD得到==．

【解答】（1）证明：连接OD，如图1，

∵BD∥OC，

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

又∵OD=OB，

∴∠3=∠4，

∴∠1=∠2，

在△CAO和△CDO中，

，

∴△CDO≌△CAO，

∴∠CDO=∠CAO=90°，

∴CD⊥OD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：设⊙O半径为r，则OD=OB=r，

在Rt△ODE中，∵OD²+DE²=OE²，

∴r²+4²=（r+2）²，解得r=3，

∴OB=3，

∵DB∥OC，

∴DE：CD=BE：OB，即4：CD=2：3，

∴CD=6；

（3）解：如图3，

由（1）得△CDO≌△CAO，

∴AC=CD=6，

在Rt△AOC中，OC===3，

∵∠AOG=∠COA，

∴Rt△OAG∽△OCA，

∴OA：OC=OG：OA，即3：3=OG：3，

∴OG=，

∴CG=OC﹣OG=3﹣=，

∵OG∥BD，OA=OB，

∴OG为△ABD的中位线，

∴BD=2OG=，

∵CG∥BD，

∴===．

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理；会利用三角形全等解决角和线段相等的问题；能运用勾股定理、平行线分线段成比例定理和相似比计算线段的长．