Question

（1）如图1所示，在等边△ABC中，点D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE，求证：AE∥BC；

（2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论．

Answer 1

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】动点型；探究型．

【分析】（1）证明△ACE≌△BCD推出∠ACB=∠EAC即可证．

（2）证明△ABC∽△EDC后可推出∠EAC=∠ACB，由此可证．

【解答】证明：（1）∵△ABC和△EDC是等边三角形

∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=CB，EC=DC，

∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

∴△ACE≌△BCD，

∴∠EAC=∠B=60°，

又∵∠ACB=60°，

∴∠ACB=∠EAC，

∴AE∥BC；

（2）仍平行；

∵△ABC∽△EDC，

∴∠ACB=∠ECD，，

∴∠ACD+∠BCD=∠ACE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

∴△AEC∽△BDC，

∴∠EAC=∠B，

又∵∠ACB=∠B，

∴∠EAC=∠ACB，

∴AE∥BC．

【点评】本题考查的是全等三角形的判定以及相似三角形的判定的有关知识．关键是证明△ACE≌△BCD和△ABC∽△EDC．