Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，将点P沿着y轴翻折，得到的对应点再沿着直线l翻折得到点P1，则P1称为点P的“l变换点”．

（1）已知：点P（1，0），直线l：x＝2，求点P的“l变换点”的坐标；

（2）若点Q和它的“l变换点”Q1的坐标分别为（2，1）和（3，2），求直线l的解析式；

（3）如图，⊙O的半径为2．

①若⊙O上存在点M，点M的“l变换点”M1在射线x（x≥0）上，直线l：x＝b，求b的取值范围；

②将⊙O在x轴上移动得到⊙E，若⊙E上存在点N，使得点N的“l变换点”N1在y轴上，且直线l的解析式为y＝x+1，求E点横坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（5，0）；（2）y＝﹣5x+4；（3）①﹣1≤b≤2；②﹣4≤t≤+4．

【解析】

（1）根据“l变换点”的定义，分别画出图形，即可解决问题；

（2）根据“l变换点”的定义，得到对称点的坐标，根据待定系数法即可得到结论；

（3）①根据“l变换点”的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题；

②如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y=x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件，想办法求出点E′的坐标即可解决问题．

解：（1）如图1，点P（1，0）关于y轴的对称点（﹣1，0），再关于直线x＝2的对称点P1（5，0）；

（2）点Q(2，1)关于y轴的对称点(﹣2，1)，

设过点(﹣2，1)和(3，2)的直线的解析式为y=kx+b，

，

解得

k=﹣，b=，

∴y＝﹣x+，

∵点(﹣2，1)和(3，2)关于直线l对称，

∴直线l过点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点且与直线y＝x+垂直，

∵点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点为(，)，

∴设直线l的解析式为y＝﹣5x+n，

∴＝﹣5×+n，

解得：n＝4，

∴直线l的解析式为：y＝﹣5x+4；

（3）①如图4中，

由题意b＝M1M′，由此可知，当M1M′的值最大时，可得b的最大值，

∵直线OM′的解析式为y＝x，

∴tan∠M′OD＝，

∴∠MM′O＝∠M′OD＝30°，

∵OM＝2，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为4，

∴b的最大值为2，

如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣1，

综上所述，满足条件的b取值范围为﹣1≤b≤2；

②设E（t，0），如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y＝x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．

连接E1E′交直线y＝x+1于K，易知直线E1E′的解析式为y＝﹣x﹣，

由，解得，

∴K(，)，

∵KE1＝KE′，

∴E′(，)，

当⊙E′与y轴相切时，||＝2，解得t＝﹣4或+4，

综上所述，满足条件的t的取值范围为﹣4≤t≤+4．