Question

【题目】小峰和同学探究一个问题:圆上的一点(不与已知直径端点重合)到圆直径两端点的距离与直径的数量关系.如图1，他们以为直径作了一个圆，圆心为，在圆上取了三个不与点重合的三点，连接.

(1)通过观察，可猜想都是 三角形.请用图2中的来请证明你的猜想并写出与的数量关系.

(2)如图3，若且比少，求圆的直径的长.

(3)如图4，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿直径往点运动，当运动到点时停止在 (2)的条件下，当 秒时 ，是等腰三角形.

Answer 1

【答案】(1)直角；；(2) ；(3) 6.25或或9

【解析】

(1)利用等腰△OAC、等腰△OBC底角相等，以及三角形内角和，即可推出，即可得出结论；

（2）运用勾股定理可得列出方程，求解，即可以得出答案；

（3）分AP=AC,AP=CP,AC=CP三种情况讨论即可.

(1)直角

证明:如图，连接.

都是圆的半径，

，

.

，

，

为直角三角形，

.

(2)由可知，为直角三角形，

同理，为直角三角形，.

由勾股定理，得.

设为，则，代入上式可得，

，

解得，

，

(3) 依题意得：AP=2t，AC=15

当AP=AC时，2t=15

解得：t=7.5

当AP=CP时，

∵OA=OC

∴P与O点重合

∴

解得：t=6.25

当CP=AC=15时，如图：过C作CM⊥AB于M

∵AB=25,AC=15,BC=20,∠ACB=90°

又∵

∴

∴

在Rt△ACM中，

∵AC=CP,CM⊥AB

∴AP=2AM=18

∴2t=18

∴t=9

综上所述：t的值:6.25或或.

故答案为：6.25或或9