Question

【题目】已知抛物线经过点和点，且．

如图，若点恰好是抛物线的顶点，请写出它的对称轴和的值．

若，求、的值，并指出此时抛物线的开口方向．

若抛物线的开口向下，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）对称轴为直线x=﹣3，t=﹣6；（2），抛物线开口向上；（3）且．

【解析】

（1）根据函数图象可直接得到对称轴方程，利用抛物线的对称性可得到P点坐标，即得到t的值；

（2）利用待定系数法确定a、b的值，然后根据二次函数的性质确定抛物线开口方向；

（3）由于抛物线y=ax2+bx的开口向下，且过点A（﹣3，﹣3），P(t，0)，把A（﹣3，﹣3），P(t，0)代入抛物线解析式，求出a与t的关系式，再由抛物线开口向下即可得到t的范围．

（1）根据函数图象得抛物线的对称轴为直线x=﹣3，由图可知：抛物线与x轴的交点坐标为（﹣6，0），（0，0），所以t=﹣6；

（2）把A（﹣3，﹣3）和P（﹣4，0）代入y=ax2+bx得：，解得：，所以抛物线的解析式为y=x2+4x，因为a=1＞0，所以抛物线开口向上；

（3）t＞﹣3且t≠0．

将A（﹣3，﹣3）和点P（t，0）代入y=ax2+bx得：，由①得：b=3a+1

把b=3a+1代入②得：at2+t（3a+1）=0．

∵t≠0，∴at+3a+1=0，∴a=．

∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴＜0，∴t+3＞0，∴t＞﹣3，∴t＞﹣3且t≠0．