Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，连接BD。

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若tan∠ABD=2，CE=1，求⊙O的半径。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；

（2）b=3或b=

【解析】分析：（1）连接OD，欲证明DE是 O的切线，只要证明OD⊥DE即可．

（2）利用相似三角形的判定和性质求出AB，利用勾股定理求出BD，进而解答即可．

本题解析：

（1）证明：连接OD。

∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC。

∴∠ODA=∠DAC。∴OD∥AE。∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.

（2）解：连接CD，连接DO并延长交⊙O于点F。

∵AB是⊙O直径，∴∠ADB=90°。∴∠ADB=∠E。

又∵∠BAD=∠DAC，∴△ABD∽△ADE。

∵DF是⊙O直径，∴∠FCD=90°，∴∠F=∠DAE，

∴∠F+∠FDC=90°，∠CDE+∠FDC=90°，∴∠F=∠CDE=∠DAE，

∴△DCE∽△ADE，∴∠ABD=∠DCE。根据tan∠ABD=2，∴tan∠DCE=2。

在RT△DCE中，CE=1，∴DE=2。

在RT△ADE中，同理可得AE=4，由勾股定理可知AD=2。

在RT△ABD中，同理可得BD=，由勾股定理可知AB=5。

所以⊙O的半径为2.5。