Question

【题目】如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E，F，连接EF．

（1）求证：PF平分∠BFD；

（2）若tan∠FBC= ，DF=，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）EF=.

【解析】试题分析：（1）连接OP、BF、PF．根据切线的性质得到OP⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OP∥CD，根据平行线的性质得到∠PFD=∠OPF，由等腰三角形的性质得到∠OPF=∠OFP，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）由∠C=90°，得到BF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠BEF=90°，推出四边形BCFE是矩形，根据矩形的性质得到EF=BC，设FC=3x，则BC=4x，根据BC=DC列出方程，解方程即可．

试题解析：

（1）证明：连接OP、BF、PF．

∵⊙O与AD相切于点P，

∴PO⊥AD，

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD⊥AD，

∴OP∥CD，

∴∠PFD=∠OPF，

∵OP=OF，

∴∠OPF=∠OFP，

∴∠OFP=∠PFD，

∴PF平分∠BFD．

（2）∵∠C=90°，

∴BF是⊙O的直径，

∴∠BEF=90°，

∴四边形BCFE是矩形，

∴EF=BC，

∵tan∠FBC=，设FC=3x，则BC=4x，

∵BC=DC，

∴4x=3x+，

∴x=，

∴EF=BC=4．