Question

【题目】如图1，边长为6的正方形ABCD，动点P、Q各从点A，D同时出发，分别沿边AD，DC方向运动，且速度均为每秒1个单位长度.

（1）AQ与BP关系为________________；

（2）如图2，当点P运动到线段AD的中点处时，AQ与BP交于点E，试探究∠CEQ和∠BCE满足怎样的数量关系；

（3）如图3，将正方形变为菱形且∠BAD=60°，其余条件不变，设运动t秒后，点P仍在线段AD上，AQ交BD于F，且△BPQ的面积为S，试求S的最小值，及当S取最小值时∠DPF的正切值．

Answer 1

【答案】（1）AQ=BP且AQ⊥BP；（2）∠BCE=2∠CEQ；（3）；

【解析】

（1）先利用“SAS”证得△ADQ≌△BAP，再利用角的计算，即可证得AQ⊥BP，AQ=BP；

（2）取AB中点为F，连结CF交BE于H，证得四边形QAFC是平行四边形，再证得CH所在直线是线段BE的中垂线，则CE=BC，从而求得∠BCE=2∠CEQ；

（3）先证得△BPQ为等边三角形，得到，当P到AD中点时，BP最短，从而得到S的最小值；作AM⊥CD于M，利用“SAS”证得△DPF≌△DQF，根据∠DPF=∠DQF即可求解．

（1）AQ⊥BP，AQ=BP，理由如下：

∵动点P，Q各从点A，D同时出发，分别沿AD，DC方向运动，且速度均为每秒1个单位长度，
∴DQ=AP，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BA，∠ADQ=∠BAP=90°，
在△ADQ和△BAP中，

，
∴△ADQ≌△BAP（SAS），
∴AQ=BP，且∠DAQ=∠ABP，
又∵∠DAQ+∠BAQ=90°，
∴∠ABP+∠BAQ=90°，
∴∠AEB=90°，
即AQ⊥BP；

（2）证明：取AB中点为F，连结CF交BE于H，

∵四边形ABCD是边长为6的正方形，

∴CD∥AB，

∵DQ=CQ=3，AF=FB=3，

∴CQ= AF，

∴四边形QAFC是平行四边形，

∴CF∥AQ，

∵AQ⊥BP，

∴CF⊥BP，

∵FH∥AE，且F为AB中点，

∴H为EB中点，即BH=EH，

∴CH所在直线是线段BE的中垂线，

∴CE=CB，

∴∠ECH=∠BCH，

∵CH∥AQ，

∴∠HCE=∠QEC，

∴∠BCE=2∠ECH=2∠CEQ，

（3）∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=60°，

∴AD=AB，CD∥AB，

∴△ABD为等边三角形，∠DBA=∠BDQ，

∴∠BAP=∠BDQ=60°，BD=BA，

∵动点P，Q各从点A，D同时出发，分别沿AD，DC方向运动，且速度均为每秒1个单位长度，
∴DQ=AP，
在△BDQ和△BAP中，

，
∴△BDQ≌△BAP（SAS），
∴BQ=BP，且∠DBQ=∠ABP，
又∵∠ABP +∠PBD=60°，
∴∠DBQ +∠PBD =60°，即∠PBQ=60°，

∴△BPQ为等边三角形，

作QG⊥BP于G，

∴，

∴，

当且仅当BP⊥AD时，即P到AD中点时，BP最短，

BP，

∴，

连结PF，过点A作AM⊥CD交CD延长线于M，

∵AP=PD=DQ=AD=3，

在△DPF和△DQF中，

，

∴△DPF≌△DQF（SAS），

在Rt△ADM中，AD=6，∠ADM=180-∠ADB-∠QDB =60°，

∴，，

∴tan∠DPF=tan∠DQF=．