Question

【题目】直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．

（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；

②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是 ；

（2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）①=；②∠α+∠BCA=180°；（2）EF=BE+AF ，证明见解析．

【解析】

（1）①由∠BCA=90°，∠α=90°可得∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，可推得∠CBE=∠ACD，且已知CA=CB，∠BEC=∠CFA，所以△BEC≌△CDA，可得BE=CF，EC=AF；又因为EF=CF-CE，所以EF=|BE-AF|；
②只有满足△BEC≌△CDA，才有①中的结论，即∠BCE=∠CAF，∠CBE=∠FCA；由三角形内角和等于180°，可知∠α+∠BCE+∠CBE=180°，即∠α+∠BCE+∠FCA=180°，即可得到∠α+∠BCA=180°．
（2）只要通过条件证明△BEC≌△CFA（可通过ASA证得），可得BE=CF，EC=AF，即可得到EF=EC+CF=BE+AF．

解：（1）①∵∠BCA=90°，∠α=90°，
∴∠CBE+∠BCE=90°，∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
在△BEC与△CDA中，

∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∵EF=CF-CE，
∴EF=|BE-AF|；

故答案为：=；
②∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°，理由为：
∵∠α+∠BCA=180°，
∴∠α+∠BCE+∠FCA=180°，
∵∠α+∠BCE+∠CBE=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠CBE=∠ACD，
又∵∠BEC=∠CFA，CA=CB，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∵EF=CF-CE，
∴EF=|BE-AF|；
则∠α与∠BCA应满足的关系是∠α+∠BCA=180°；

故答案为：∠α+∠BCA=180°；
（2）探究结论：EF=BE+AF，
证明：∵∠1+∠2+∠BCA=180°，∠2+∠3+∠CFA=180°
又∵∠BCA=∠α=∠CFA，
∴∠1=∠3；
又∵∠BEC=∠CFA=∠α，CB=CA，
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴BE=CF，EC=FA，
∴EF=EC+CF=BE+AF．