Question

【题目】已知抛物线过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点的坐标；

（3）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1）.（2）（，）.（3）存在，.

【解析】

（1）设抛物线的解析式为，求出点C坐标，结合点A和点B坐标，利用待定系数法求解即可；

（2）设直线BC的解析式为：，求出BC的解析式，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设出点P的坐标，利用求出表达式，从而得到取最大值时点P的坐标；

（3）过点C作与y轴夹角为的直线CH，过点A作于H，得到，得到时值最小，分别求出HC和AH的表达式，联立求出x，从而得到点H坐标，再结合点A坐标求出AH的长，即可得到结果.

解：（1）抛物线过点A（1，0），B（3，0）两点，，

∵点C的坐标为（0，3），

设抛物线的解析式为，则，

解得：，

∴抛物线的解析式为；

（2）设直线BC的解析式为：，

则，

解得：，

故直线BC的解析式为：，

过点P作y轴的平行线交BC于点H

设点P的坐标为（x，），则点H的坐标为（x，）

则

∵

∴面积有最大值，此时

故点P的坐标为（，）；

（3）存在，理由如下

如图，过点C作与y轴夹角为的直线CH，过点A作于H

则，

∴时值最小

直线HC所在表达式中的k的值为，直线HC的表达式为：①

则直线AH所在表达式中的k的值为：

则直线AH所在表达式为：，将点A的坐标代入上式并解得：

则直线AH所在表达式为：②

联立①②并解得：

故点H（，），而点A（1，0）

则

即：的最小值为.