Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF．

（猜想）如图①，∠FDM的大小为　 　度．

（探究）如图②，过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1，连结BM．求证：△ABM≌△ADM1．

（拓展）如图③，连结AC，若正方形ABCD的边长为2，则△ACC1面积的最大值为　 　．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）证明见解析；（3）2﹣2．

【解析】

（1）证明∠CDE=∠C1DE和∠ADF=∠C1DF，可得∠FDM=∠ADC=45°；

（2）先判断出∠DAM1=∠BAM，由（1）可知：∠FDM=45°，进而判断出∠AMD=45°，得出AM=AM1，即可得出结论；

（3）先作高线C1G，确定△ACC1的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C1在BD上时，C1G最大，其△AC1C的面积最大，并求此时的面积．

（1）由对称得：CD＝C1D，∠CDE＝∠C1DE，

在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，

∴AD＝C1D，

∵F是AC1的中点，

∴DF⊥AC1，∠ADF＝∠C1DF，

∴∠FDM＝∠FDC1+∠EDC1＝∠ADC＝45°；

故答案为：45；

（2）∵DF⊥AC1，

∴∠DFM＝90°，

∵AM1∥DF

∴∠MAM'＝90°，

在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，

∴∠DAM1＝∠BAM，

由（1）可知：∠FDM＝45°

∵∠DFM＝90°

∴∠AMD＝45°，

∴∠M1＝45°，

∴AM＝AM1，

在：△ABM和△ADM1中，

∵，

∴△ABM≌△ADM1（SAS）；

（3）如图，过C1作C1G⊥AC于G，则＝ACC1G，

在Rt△ABC中，AB＝BC＝2，

∴AC＝＝2，即AC为定值，

当C1G最大值，△AC1C的面积最大，

连接BD交AC于O，当C1在BD上时，C1G最大，此时G与O重合，

∵CD＝C1D＝2，OD＝AC＝，

∴C1G＝C1D﹣OD＝2﹣，

∴＝ACC1G＝×2（2﹣）＝2﹣2，

故答案为：2﹣2．