【题目】在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)为抛物线上的一个动点,点关于原点的对称点为.当点落在该抛物线上时,求的值;
(3)是抛物线上一动点,连接,以为边作图示一侧的正方形,随着点的运动,正方形的大小与位置也随之改变,当顶点或恰好落在轴上时,求对应的点坐标.
【答案】(1).(2)或.(3)点的坐标为,,
,.
【解析】
(1)将和点代入解析式解方程即可;
(2)将的坐标表示,把坐标代入解析式求m即可;
(3)利用正方形性质和一线三直角几何模型,找到全等三角形,根据直角边解方程即可.
(1)∵抛物线经过点和点.
得,解得
∴抛物线的解析式为.
(2)∵与关于原点对称,
∴的坐标为.
∵,都在抛物线上,
∴,.
∴.
解得或.
(3)当点落在轴上时,
如图1,过点作轴于点,
∵四边形是正方形,
∴,.
∴.
∵,
∴.
∴.
又,
∴.
∴.
∴,有,
解得或(舍去).
∴点坐标为.
如图2,过点作轴于点,
同理可以证得,
∴.
∴,有,
解得或(舍去).
∴点坐标为.
当点落在轴上时,
如图3,过点作轴于点,过点作于点,
同理可以证得,
∴,
∴,有,
解得或(舍去).
∴点坐标为.
如图4,过点作轴于点,过点作,交的延长线于点,
同理可以证得,
∴,
∴,有,
解得或(舍去).
∴点坐标为.
综上所述,点的坐标为,,
,.
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【题目】在平面直角坐标系xoy中,直线(k为常数)与抛物线交于A,B两点,且A点在轴右侧,P点的坐标为(0,4)连接PA,PB.(1)△PAB的面积的最小值为____;(2)当时,=_______
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【题目】如图,△ABC为⊙O的内接三角形,AB为⊙O的直径,将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD,交⊙O于点D.连接CD交AB于点E,延长BD和CA相交于点P,过点A作AG∥CD交BP于点G.
(1)求证:直线GA是⊙O的切线;
(2)求证:AC2=GDBD;
(3)若tan∠AGB=,PG=6,求cos∠P的值.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E是边BC上任意一点(点E不与点B、C重合),连结DE,点C关于DE的对称点为C1,连结AC1并延长交DE的延长线于点M,F是AC1的中点,连结DF.
(猜想)如图①,∠FDM的大小为 度.
(探究)如图②,过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1,连结BM.求证:△ABM≌△ADM1.
(拓展)如图③,连结AC,若正方形ABCD的边长为2,则△ACC1面积的最大值为 .
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【题目】如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,,,为格点,为小正方形边的中点.
(1)的长等于_________;
(2)点,分别为线段,上的动点,当取得最小值时,请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段,,并简要说明点和点的位置是如何找到的(不要求证明).
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了格点(顶点是网格线的交点)和直线l及点O.
(1)画出关于直线l对称的;
(2)连接OA,将OA绕点O顺时针旋转,画出旋转后的线段;
(3)在旋转过程中,当OA与有交点时,旋转角的取值范围为________.
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【题目】在全球关注的抗击“新冠肺炎”中某跨国科研中心的一个团队研制了一种助治“新冠附炎”的新药,在试验药效时发现,如果成人按规定的制量服用,那么服药后2小时血液中含药量最高,达每毫升8微克(1微克=毫克),接着逐步安减,10小时时血液中含药最为每毫升3微克,每毫升血液中含药量(微克)随时间(小时)的变化如图所示.
(1)分别求线段所表示的函数关系式;
(2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时对治病是有效的,那么这个有效时间是多长?
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【题目】某中学的一个数学兴趣小组在本校学生中开展了主题为“雾霾知多少”的专题调查括动,采取随机抽样的方式进行问卷调查,问卷调查的结果分为“A.非常了解”、“B.比较了解”、“C.基本了解”、“D.不太了解”四个等级,将所得数据进行整理后,绘制成如下两幅不完整的统计图表,请你结合图表中的信息解答下列问题
等级 | A | B | C | D |
频数 | 40 | 120 | 36 | n |
频率 | 0.2 | m | 0.18 | 0.02 |
(1)表中m= ,n= ;
(2)扇形统计图中,A部分所对应的扇形的圆心角是 °,所抽取学生对丁雾霾了解程度的众数是 ;
(3)若该校共有学生1500人,请根据调查结果估计这些学生中“比较了解”人数约为多少?
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