Question

点P是△ABC内（不在边上）一点，连接PA、PB、PC，如果△PAB、△PBC、△PAC中存在一个三角形与原△ABC相似，那么我们把点P叫做△ABC的内相似点．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，若点P是△ABC的内相似点，则cos∠PAB的值为（　　）

• A、

  4

  5

• B、

  7

  9

• C、

  12

  13

• D、

  24

  25

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：新定义

分析：先找到Rt△ABC的内相似点，再根据三角函数的定义计算cos∠PAB即可．

解答：解：∵AC=3，BC=4，
∴∠CAB＞∠CBA，
故可在∠CAB内作∠CAP=∠CBA，
又∵点P为△ABC的内相似点，
∴过点C作CP⊥AP，并延长CP交AB于点D，
则△APC∽△BCA
∴点P为△ABC的内相似点，
∴∠ACP=∠CAB，
∴DA=DC，
在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，则可求得AB=5，
由相似可知

AP

BC

=

AC

AB

，即

AP

4

=

3

5

，解得AP=

12

5

，
在Rt△APC中，AC=3，AP=

12

5

，由勾股定理可求得PC=

9

5

，
设AD=x，则PD=x-

9

5

，且AP=

12

5

，由勾股定理可得AD²=AP²+PD²，
即x²=（

12

5

）²+（x-

9

5

）²，解得x=

5

2

，即AD=

5

2

，
∴cos∠PAB=

PA

AD

=

12 5

5 2

=

24

25

，
故选D．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用条件先确定出P点的位置是解题的关键．