Question

【题目】如图1，四边形ABCD，边AD、BC的垂直平分线相交于点O．连接OA、OB、OC、OD．OE是边CD的中线，且∠AOB+∠COD＝180°

（1）如图2，当△ABO是等边三角形时，求证：OE＝AB；

（2）如图3，当△ABO是直角三角形时，且∠AOB＝90°，求证：OE＝AB；

（3）如图4，当△ABO是任意三角形时，设∠OAD＝α，∠OBC＝β，

①试探究α、β之间存在的数量关系？

②结论“OE＝AB”还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①α+β＝90°；②成立，理由详见解析．

【解析】

(1)作OH⊥AB于H，根据线段垂直平分线的性质得到OD=OA，OB=OC，证明△OCE≌△OBH，根据全等三角形的性质证明；

(2)证明△OCD≌△OBA，得到AB=CD，根据直角三角形的性质得到OE=CD，证明即可；

(3)①根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算；

②延长OE至F，是EF=OE，连接FD、FC，根据平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质证明．

(1)作OH⊥AB于H，

∵AD、BC的垂直平分线相交于点O，

∴OD=OA，OB=OC，

∵△ABO是等边三角形，

∴OD=OC，∠AOB=60°，

∵∠AOB+∠COD＝180°

∴∠COD=120°，

∵OE是边CD的中线，

∴OE⊥CD，

∴∠OCE=30°，

∵OA=OB，OH⊥AB，

∴∠BOH=30°，BH=AB，

在△OCE和△BOH中，

，

∴△OCE≌△OBH，

∴OE=BH，

∴OE=AB；

(2)∵∠AOB=90°，∠AOB+∠COD=180°，

∴∠COD=90°，

在△OCD和△OBA中，

，

∴△OCD≌△OBA，

∴AB=CD，

∵∠COD=90°，OE是边CD的中线，

∴OE=CD，

∴OE=AB；

(3)①∵∠OAD=α，OA=OD，

∴∠AOD=180°﹣2α，

同理，∠BOC=180°﹣2β，

∵∠AOB+∠COD=180°，

∴∠AOD+∠COB=180°，

∴180°﹣2α+180°﹣2β=180°，

整理得，α+β=90°；

②延长OE至F，使EF=OE，连接FD、FC，

则四边形FDOC是平行四边形，

∴∠OCF+∠COD=180°，，

∴∠AOB=∠FCO，

在△FCO和△AOB中，

，

∴△FCO≌△AOB，

∴FO=AB，

∴OE=FO=AB．