【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点O是边BC上的动点,以点O为圆心,OB为半径作圆O,交AB边于点D,过点D作∠ODP=∠B,交边AC于点P,交圆O与点E.设OB=x.
(1)当点P与点C重合时,求PD的长;
(2)设AP﹣EP=y,求y关于x的解析式及定义域;
(3)联结OP,当OP⊥OD时,试判断以点P为圆心,PC为半径的圆P与圆O的位置关系.
【答案】
(1)解:如图1中,作AH⊥BC于H,CG⊥AB于G,
∵AB=AC=5,AH⊥BC,
∴BH=CH=3,AH=4,
∵ BCAH=
ABCG,
∴CG= ,AG=
=
,
∴cos∠B= ,cos∠BAC=
,
如图2中,当点P与C重合时,
∵OB=OD,
∴∠B=∠ODB=∠ACB,
∵∠ADO=∠B+∠BOD=∠CDO+∠ADP,∠ODP=∠B,
∴∠ADP=∠BOD=∠BAC,
∴PA=PD=5;
(2)解:如图2中,作CG⊥AB于G,OH⊥BD于H.
∵AD=2AG= ,
∵BD=2BH=2OBcos∠B= x,
∴ x+
=5,
∴x= ,
如图3中,当P、E重合时,作EG⊥AD于G.
根据对称性可知,B、E关于直线OD对称,
∴DB=DE=AE= x,
∵cos∠A= =
,
∴ =
,
解得x= ,
当点D与A重合时 x=5,
∴x= ,
当 ≤x≤
时,如图4中,
∵y=PA﹣PE=PD﹣PE=DE=BD= x,
∴y= x,
当 <x<
时,如图5中,作PG⊥AB于G.
∵BD=DE= x,DG=AG=
(5﹣
x),
∴AP=AG÷cos∠A= (5﹣
x),
∴y=AP﹣EP= (5﹣
x)﹣[
x﹣
(5﹣
x)]=﹣
x+
,
综上所述,y= .
(3)解:如图6中,连接OP.
连接OP,∵OP⊥AC,
∴cos∠C=cos∠B= =
,
∴ =
,
∴x= ,PC=
,OP=
,
∵ <
+
,
∴以点P为圆心,PC为半径的圆P与圆O的位置关系是相交.
【解析】(1)如图1中,首先求出cos∠B,cos∠A,如图2中,当点P与C重合时,只要证明PA=PD即可;(2)如图2中,作CG⊥AB于G,OH⊥BD于H.分两种情形①当 ≤x≤
时,如图4中.②当
<x<
时,如图5中,作PG⊥AB于G.(3)如图6中,连接OP.根据cos∠C=cos∠B=
=
,列出方程,求出两圆的半径,圆心距即可判断.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax+bx-3(a≠0)与x轴交于点
A(-2,0)、B(4,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从A点出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动,同时点Q从B点出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动,其中一个点到达终点时,另一个也停止运动,当△PBQ存在时,求运动多少秒使△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点M,使 :
=5:2,求M点坐标。
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【题目】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标是(2,1),并且经过点(4,2),直线y= x+1与抛物线交于B,D两点,以BD为直径作圆,圆心为点C,圆C与直线m交于对称轴右侧的点M(t,1),直线m上每一点的纵坐标都等于1.
(1)求抛物线的解析式;
(2)证明:圆C与x轴相切;
(3)过点B作BE⊥m,垂足为E,再过点D作DF⊥m,垂足为F,求BE:MF的值.
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【题目】已知:如图,一次函数y=﹣2x+1与反比例函数y= 的图象有两个交点A(﹣1,m)和B,过点A作AE⊥x轴,垂足为点E;过点B作BD⊥y轴,垂足为点D,且点D的坐标为(0,﹣2),连接DE.
(1)求k的值;
(2)求四边形AEDB的面积.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表:
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 3 | … |
y | … | ﹣3 | 1 | 3 | 1 | … |
则下列判断正确的是( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线与y轴交于负半轴
C.当x=4时,y>0
D.方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间
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【题目】如图,某建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距38m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°,观测旗杆底部B的仰角为45°,则旗杆的高度约为 m.(结果精确到0.1m,参考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,tan50°≈1.19)
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,AO是角平分线,D为AO上一点,作△CDE,使DE=DC,∠EDC=∠BAC,连接BE.
(1)若∠BAC=60°,求证:△ACD≌△BCE;
(2)若∠BAC=90°,AD=DO,求 的值;
(3)若∠BAC=90°,F为BE中点,G为 BE延长线上一点,CF=CG,AD=nDO,直接写出 的值.
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