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    14．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．
    （1）如图1，若点E是边BC的中点，M是边AB的中点，连接EM，求证：AE=EF．
    （2）如图2，若点E在射线BC上滑动（不与点B，C重合）．
    ①在点E滑动过程中，AE=EF是否一定成立？请说明理由；
    ②在如图所示的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在直线y=-2x+6上，求此时点F的坐标．

    分析 （1）由条件可证明△AME≌△ECF，可证得结论；
    （2）①在AB上截取AM=EC，连接ME，由条件可证明△AME≌△ECF，可证明AE=EF；②设F（a，-2a+6），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，则可用a表示出CH、FH，由角平分线的性质可得到关于a的方程，可求得a的值，可求得F的坐标．

    解答 （1）证明：
    ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
    ∴∠BAE=∠CEF，
    又∵M、E为中点，
    ∴AM=EC=BE=BM，且CF平分∠DCB，
    ∴∠AME=∠ECF=135°，
    在△AME和△ECF中
    $\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=CE}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$
    ∴△AME≌△ECF（ASA），
    ∴AE=EF；
    （2）解：①若点E在线段BC上滑动时AE=EF一定成立．
    证明：图2中，在AB上截取AM=EC，连接ME，

    ∵AB=BC，
    ∴BM=BE，
    ∴△MBE是等腰直角三角形，
    ∴∠AME=180°-45°=135°，
    又∵CF平分是角平分线，
    ∴∠ECF=90°+45°=135°，
    ∴∠AME=∠ECF，
    ∵∠BAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
    ∴∠BAE=∠CEF，
    在△AME和△ECF中
    $\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=CE}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$
    ∴△AME≌△ECF（ASA），
    ∴AE=EF；
    ②设F（a，-2a+6），过F作FH⊥x轴于H，作FG⊥CD于G，如图3，

     则CH=a-1，FH=-2a+6
    ∵CF为角平分线，
    ∴FH=CH，
    ∴a-1=-2a+6，解得$a=\frac{7}{3}$，
    当$a=\frac{7}{3}$时，-2a+6=-2×$\frac{7}{3}$+6=$\frac{4}{3}$，
    ∴F点坐标为（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）．

    点评 本题为一次函数的综合应用，涉及正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及方程思想等知识．在（1）中证明三角形全等是解题的关键，在（2）①中构造三角形全等是关键，在（2）②中根据角平分线的性质得到关于F点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．

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    A．1.6×1012B．1.6×1010C．1.6×104D．1.6×103

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