Question

7．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆分别交边AC，BC于点D，E，若$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$+30°，则∠DEC的度数是（　　）

• A． 30°
• B． 40°
• C． 45°
• D． 50°

Answer 1

分析 作辅助线，设∠EOD=x°，根据弧的度数即为弧所对圆心角的度数，分别表示出∠AOD、∠BOE的度数，再根据直径所对的圆周角为直角和等腰三角形的三线合一得：AE是角平分线，即圆周角相等，则所对的弧相等，圆心角相等；根据平角的定义列方程可求x的值，最后由四点共圆的性质和同圆的半径相等求出结论．

解答 解：连接OE、OD、AE，
设∠EOD=x°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{DE}$+30°，
∴∠AOD=（x+30）°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{ED}$，
∴∠BOE=x°，
则x+x+x+30=180，
x=50°，
∴∠AOD=30°+50°=80°，
∵OA=OD，
∴∠BAC=∠ADO=$\frac{180°-80°}{2}$=50°，
∵A、B、E、D四点共圆，
∴∠DEC=∠BAC=50°，
故选D．

点评 本题考查了弦、弧及圆心角的关系，圆周角定理，以及等腰三角形的性质，其中作出辅助线是解本题的关键，在圆中常作的辅助线是连接半径，同时注意弧的度数即为弧所对圆心角的度数．