Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，）三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求证：点C在以AB为直径的圆上；

（3）以BC为直径作⊙P，点D为抛物线上一动点，是否存在点D使直线OD与⊙P相切？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

　

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

（2）由条件可求得AC、BC、AB，可证明△ABC为直角三角形，可证得结论；

（3）由条件可先求得P点坐标，连接OD，由切线的性质可得到∠POB=∠AOD，过P作PE⊥AB于点E，过D作DF⊥AB于点F，设出D点坐标，根据tan∠BOP=tan∠ODF，再结合D点在抛物线上，可求得D点坐标．

【解答】（1）解：∵抛物线经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，）三点，

∴把三点坐标代入可得，

解得．

∴抛物线解析式为y=﹣x²+x+；

（2）证明：∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，），

∴OA=1，BO=3，OC=，

∴AB=4，

在Rt△AOB中，可求得AC=2，在Rt△BOC中可求得BC=2，

∴AC²+BC²=4+12=16=AB²，

∴∠ACB=90°，

∵AB为直径，

∴点C在以AB为直径的圆上；

（3）解：存在．理由如下：

∵B（3，0），C（0，）

∴P（，），

设直线OP解析式为y=kx，代入=k，解k=，

∴直线OP的y=x，

∴OD为⊙P的切线，

∴OD⊥OP，

∴直线OD的解析式为y=﹣x，

联立直线OD和抛物线解析式，解得或，

∴D点坐标为（，）或（，），

综上可知存在满足条件的D点，其坐标为（，）或（，）．

【点评】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理及其逆定理、圆周角定理、切线的性质等知识点．在（1）中注意待定系数法的步骤，在（2）中证得∠ACB为直角是解题的关键，在（3）中求得直线OD的解析式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．