Question

已知：a²-b²=（a-b）（a+b）； a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）；a⁴-b⁴=（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）；按此规律，则：
（1）a⁵-b⁵=（a-b）（

 

）；
（2）若a-

1

a

=3，请你能根据上述规律求出代数式a³-

1

a3

的值．

Answer 1

考点：因式分解-运用公式法

专题：规律型

分析：（1）根据题意，按同一个字母的降幂排列直至不含这个字母为止；
（2）根据规律，先把代数式a³-

1

a3

分解因式，再代入计算即可．

解答：解：（1）∵a²-b²=（a-b）（a+b）； 
a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）；
a⁴-b⁴=（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）；
∴a⁵-b⁵=（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）；
故答案为：a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴；

（2）a³-

1

a3

=（a-

1

a

）（a²+1+

1

a2

），
=（a-

1

a

）（a²-2+

1

a2

+3），
=（a-

1

a

）[（a-

1

a

）²+3]，
=3×（9+3），
=36．

点评：本题考查了平方差公式，是一道信息给予题，读懂信息是解题的关键．