Question

【题目】如图，△ABC中,∠C=90°，⊙I为△ABC的内切圆，点O为△ABC的外心，BC=6，AC=8．

（1）求⊙I的半径；

（2）求线段OI的长．

Answer 1

【答案】(1)2;(2).

【解析】

（1）首先设⊙I的半径为r，由△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，可求得AB的长，又由S△ABC=ACBC=（AB+AC+BC）·r，即可求得答案；
（2）首先设⊙I与△ABC的三边分别切于点D，E，F，连接ID，IE，IF，由切线长定理可求得BD的长，又由点O为△ABC的外心，可求得OB的长，即可求得OD的长，然后由勾股定理求得答案．

（1）设⊙I的半径为r，

∵△ABC中，∠C=90゜，BC=6，AC=8，

∴AB==10，

∴S△ABC=ACBC=（AB+AC+BC）r，

∴r==2；

（2）设⊙I与△ABC的三边分别切于点D，E，F，连接ID，IE，IF，

∴∠IEC=∠IFC=90°，

∵∠C=90°，

∴四边形IECF是矩形，

∵IE=IF，

∴四边形IECF是正方形，

∴CE=IE=2，

∴BD=BE=BC﹣CE=6﹣2=4，

∵点O为△ABC的外心，

∴AB是直径，

∴OB=AB=5，

∴OD=OB﹣BD=5﹣4=1，

∴OI=．