Question

抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2）求△BCM的面积与△ABC的面积的比．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质

专题：

分析：（1）由抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0）两点，则可设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3）．由与y轴交于点C（0，-3），则代入易得解析式，顶点易知．
（2）求△BCM面积与△ABC面积的比，由两三角形不为同高或同底，所以考虑求解求出两三角形面积再作比即可．因为S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC，S_△ABC=

1

2

•AB•OC，则结论易得．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
∵抛物线过点（0，-3），
∴-3=a（0+1）（0-3），
∴a=1，
∴抛物线解析式为y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴M（1，-4）．

（2）如图1，连接BC、BM、CM，作MD⊥x轴于D，
∵S_△BCM=S_梯形OCMD+S_△BMD-S_△BOC
=

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4-

1

2

×3×3
=

7

2

+

8

2

-

9

2

=3
S_△ABC=

1

2

•AB•OC=

1

2

×4×3=6，
∴S_△BCM：S_△ABC=3：6=1：2．

点评：本题考查了待定系数法求解析式、二次函数图象与性质及坐标系中求不规则图形面积等基础考点，难度适中，适合学生练习．