Question

先因式分解①、②、③，再解答问题：
（1）①1+a+a（1+a）；
②1+a+a（1+a）+a（1+a）²；    
③1+a+a（1）+a（1+a）²+a（1+a）³．
（2）先探索上述方法因式分解的规律，然后填空：
1+a+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³+…+a（1+a）²⁰¹⁵因式分解的结果是

 

； 
（3）请按上述做法因式分解：1+a+（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³+…+a（1+a）ⁿ（a为正整数）．

Answer 1

考点：因式分解-提公因式法

专题：规律型

分析：（1）各式提取公因式得到结果即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，得出结果即可；
（3）利用得出的规律计算即可得到结果．

解答：解：（1）①1+a+a（1+a）=（1+a）（1+a）=（1+a）²；
②1+a+a（1+a）+a（1+a）²=（1+a）[1+a+a（1+a）]=（1+a）²（1+a）=（1+a）³；
③1+a+a（1+a）+a（1+a）²+a（1+a）³=（1+a）[1+a+a（1+a）+a（1+a）²]=（1+a）²[1+a+a（1+a）]=（1+a）³（1+a）=（1+a）⁴；
（2）根据题意得：原式=（1+a）²⁰¹⁶；
（3）根据题意得：原式=（1+a）ⁿ⁺¹．
故答案为：（2）（1+a）²⁰¹⁶．

点评：此题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．