Question

3．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，交AB的延长线于点E．
（1）求证：AC=CE；
（2）若AB=1，BC=2，求点E到AC的距离．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出AC=BD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=CD，可得AE∥CD，证出四边形BECD是平行四边形，得出BD=CE，即可得出结论；
（2）设点E到AC的距离为h，由勾股定理求出AC，由三角形的面积得出△ACE的面积=$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$AE×BC，求出h即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=CD，
∴AE∥CD，
∵CE∥BD，
∴四边形BECD是平行四边形，
∴BD=CE，
∴AC=CE；
（2）解：设点E到AC的距离为h，
∵AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，四边形BECD是平行四边形，
∴BE=CD=AB=1，
∴AE=AB+BE=2，
∵△ACE的面积=$\frac{1}{2}$AC•h=$\frac{1}{2}$AE×BC，即$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$•h=$\frac{1}{2}$×2×2，
解得：h=$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
即点E到AC的距离为$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．