Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．

①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；

②求△BOD 面积的最大值，并写出此时点D的坐标．

Answer 1

【答案】解：（1）解方程x2﹣2x﹣3=0，得 x1=3，x2=﹣1。

∵m＜n，∴m=﹣1，n=3。∴A（﹣1，﹣1），B（3，﹣3）。

∵抛物线过原点，设抛物线的解析式为y=ax2+bx。

∴，解得：。

∴抛物线的解析式为。

（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b。

∴，解得：。

∴直线AB的解析式为。

∴C点坐标为（0，）。

∵直线OB过点O（0，0），B（3，﹣3），∴直线OB的解析式为y=﹣x。

∵△OPC为等腰三角形，∴OC=OP或OP=PC或OC=PC。

设P（x，﹣x）。

（i）当OC=OP时，，解得（舍去）。

∴P1（）。

（ii）当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴P2（）。

（iii）当OC=PC时，由，解得（舍去）。

∴P3（）。

综上所述，P点坐标为P1（）或P2（）或P3（）。

②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于Q，过B作BH⊥x轴，垂足为H．

设Q（x，﹣x），D（x，）．

S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=DQOG+DQGH

=DQ（OG+GH）

=

=。

∵0＜x＜3，∴当时，S取得最大值为，此时D（）。

【解析】（1）首先解方程得出A，B两点的坐标，从而利用待定系数法求出二次函数解析式即可。

（2）①首先求出AB的直线解析式，以及BO解析式，再利用等腰三角形的性质得出当OC=OP时，当OP=PC时，点P在线段OC的中垂线上，当OC=PC时分别求出x的值即可。

②利用S△BOD=S△ODQ+S△BDQ得出关于x的二次函数，从而得出最值即可。