Question

【题目】已知：△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D．
（1）如图1，求证；∠ABC+∠CAD=90°；

（2）如图2，过点D作DE⊥AB于E，若∠ADC=2∠ACB．求证：AC=2DE；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接BO交DE于点F，延长ED交⊙O于点G，连接AG，若AC=6 ，BF=OD，求线段AG的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图1中，延长AD交⊙O于点M，连接MC．

∵AM为⊙O的直径，

∴∠ACM=90°，

∴∠ABC=∠AMC，

∵∠AMC+∠MAC=90°，

∴∠B+∠CAD=90°．

（2）

证明：如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．

∴∠AOB=2∠ACB，

∵∠ADC=2∠ACB，

∴∠AOB=∠ADC，

∴∠BOD=∠BDO，

∴BD=BO，

∵∠BED=∠AHO，∠ABD=∠AOH，

∴△BDE≌△AOH，

∴DE=AH，

∵OH⊥AC，

∴AH=CH= AC，

∴AC=2DE．

（3）

证明：如图3中，过点O作ON⊥EG于N，OT⊥AB于T，连接OG．

∵AC=6 ，AC=2DE，

∴DE=3 ，

∵OA=OB，

∴∠ABO=∠BAO，

∵∠ABO+∠BFE=90°，∠BAO+∠ADE=90°，

∴∠BFE=∠OFD=∠ODF，

∴OF=OD，

∵BF=OD，

∴OF=OD=BF，

∴△BFE≌△OFN，

∴BE=ON EF=FN

∵OF=OD，ON⊥FD，

∴EF=FN=ND= ，

∵BE=ON，OG=BD，

∴△BED≌△NOG，

∴ED=NG，

∴EG=5 ，

∵ON⊥EG OT⊥AB DE⊥AB，

∴四边形ONET为矩形，

∴BE=ET=ON，

∵OT⊥AB，

∴AT=BT，AE=3BE，

设AO=BD=r，OD= r，AD= r

在Rt△AED中，AE2=AD2﹣ED2，

在Rt△BED中，BE2=BD2﹣ED2，

即（ r）2﹣（3 ）2=9[（ r）2﹣（3 ）2]，

r=4 或r=﹣4 （舍去），

∴AE=15，

在△AEG中，AG= =10 ．

【解析】（1）如图1中，延长AD交⊙O于点M，连接MC．首先证明∠ACM=90°，再证明∠ABC=∠M即可解决问题．（2）如图2中，过点O作OH⊥AC于H，连接BO．想办法证明△BDE≌△AOH即可解决问题．（3）如图3中，过点O作ON⊥EG于N，OT⊥AB于T，连接OG．由△BFE≌△OFN，推出BE=ON EF=FN由OF=OD，ON⊥FD，推出EF=FN=ND= ，由△BED≌△NOG，推出ED=NG，再证明AE=3BE，设AO=BD=r，OD= r，AD= r在Rt△AED中，AE2=AD2﹣ED2 ， 在Rt△BED中，BE2=BD2﹣ED2 ， 即（ r）2﹣（3 ）2=9[（ r）2﹣（3 ）2]，求出r即可解决问题．