Question

3．如图，△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，解答：
（1）求证：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；
（2）若∠BOC=120°，则∠A的度数是多少？

Answer 1

分析 （1）根据角平分线定义得出∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A，求出∠OBC+∠OCB=90°-$\frac{1}{2}$∠A，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）代入（1）中求出的等式，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵△ABC的∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠A；
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）
=180°-990°-$\frac{1}{2}∠$A）
=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
即∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A；

（2）解：当∠BOC=120°时，120°=90°+$\frac{1}{2}$∠A，
解得：∠A=60°．

点评 本题考查了角平分线定义，三角形内角和定理的应用，能求出∠OBC+∠OCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠A是解此题的关键．