Question

如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连结DF，交BE的延长线于点G，连结OG．
（1）求证：①△BCE≌△DCF；②BG⊥DF． 
（2）OG与BF有什么关系？证明你的结论；
（3）若正方形ABCD的面积为1，求CE的长．（结果保留根号）

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①根据正方形的性质可以得到∠DCF=90°=∠BCD，根据SAS即可证得△BCE≌△DCF；
②利用△BCE≌△DCF，得出∠1=∠F，∠F+∠2=90°，进而得出∠BGD=90°=∠BGF；
（2）首先证明△BDG≌△BGF，从而得到OG是△DBF的中位线，即可得出答案；
（3）根据（2）的证明可以得到BF=BD，则设EC=x，则BD=x+1，在直角△BCD中，利用勾股定理即可得到一个关于x的方程求得EC的长．

解答：（1）证明：①∵正方形ABCD中，BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠DCF=90°，
∴∠DCF=90°=∠BCD，
∵在△BCD和△DCF中，

BC=DC ∠BCD=∠DCF CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
②∵△BCE≌△DCF，
∴∠1=∠F，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠F+∠2=90°，
∵D、G、F三点共线，
∴∠BGF+∠BGD=180°，
∴∠BGD=90°=∠BGF，
即BG⊥DF；

（2）OG

∥

.

1

2

BF
理由：∵BE平分∠DBC，
∴∠2=∠3，
在△BGD和△BGF中，

∠3=∠2 BG=BG ∠BGD=∠BGF

，
∴△BGD≌△BGF（ASA），
∴DG=GF，
∵O为正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△DBF的中位线，
∴OG

∥

.

1

2

BF；

（3）解：∵BE平分∠DBC，
∴∠3=∠2，
∵GO∥BF，
∴∠2=∠OGB，
∴∠3=∠OGB，
∴BO=GO，
∴OG=

1

2

BD，
∴BD=BF，
设EC=x，则BF=BC+CF=BC+CE=x+1，
∴BD=x+1，
∵∠BCD=90°，
∴BC²+CD²=BD²，
即1²+1²=（x+1）²，
解得x=

2

-1，
即EC=

2

-1．

点评：本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理的性质，以及勾股定理的应用，正确理解定理是关键．