Question

如图△ABC中，AB=AC，AE⊥BC，E为垂足，F为AB上一点．以BF为直径的圆与AE相切于M点，交BC于G点．
（1）求证：BM平分∠ABC；
（2）当BC=4，cosC=时，
①求⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．（结果保留π与根号）

Answer 1

(1)证明见解析；（2）；．

试题分析：（1）连OM，根据切线的性质得OM⊥AE，而AE⊥BC，则OM∥BC，根据平行线的性质得∠OMB=∠MBC，而∠OBM=∠OMB，所以∠OBM=∠MBE；
（2）①设⊙O的半径为R，根据等腰三角形的性质得BE=CE=2，由cos∠C=得到∠C=60°，则可判断△ABC为等边三角形，所以AB=AC=BC=4，则∠OAM=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AO=2R，则2R+R=4，解得R=；
②过O作OH⊥BM，H为垂足，根据垂径定理得BH=MH，易得∠AOM=60°，∠ABH=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系可得OH=OB=，BH=OH=，所以BM=，然后根据扇形面积公式和三角形面积公式和S_阴=S_扇形FOM+S_△OBM进行计算．
（1）证明：连OM，如图,

∵⊙O与AE相切于M，
∴OM⊥AE，
∵AE⊥BC，
∴OM∥BC，
∴∠OMB=∠MBC，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∴∠OBM=∠MBE，
∴BM平分∠ABC；
（2）解：①设⊙O的半径为R，
∵AB=AC，BC=4，AE⊥BC，
∴BE=CE=2，
在Rt△ACE中，cos∠C=，
∴∠C=60°
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC=4，
∴∠OAM=30°，
∴AO=2R，
而AB=OA+BO，
∴2R+R=4，
∴R=，
即⊙O的半径为；
②过O作OH⊥BM，H为垂足，如图，
∵OH⊥BM，
∴BH=MH，
∵OM∥BE，
∴∠AOM=60°，
∴∠ABH=30°，
∴OH=OB=，BH=OH=，
∴BM=，
∴S_△OBM=OH•BM=，
∴S_扇形FOM=
∴S_阴=．