Question

如图，正方形ABCD边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点（点E不与点B重合），∠AEF=90°，连接AF．
（1）试找出图中一定相似的三角形，简要证明过程；
（2）试找出图中不一定相似的三角形，并确定当其相似时点E所在的位置，简写推理过程；
（3）试找出图中一定不相似的三角形，简要说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定,正方形的性质

专题：

分析：（1）由四边形ABCD是正方形，可得∠B=∠C=90°，又由∠AEF=90°，即可证得∠BAE=∠CEF，则可得△ABE∽△ECF；
（2）由△ABE∽△ECF，可得AB：EC=AE：EF，即可知当BE=CE，△ABE∽△AEF，则可得△AEF∽△ECF．
（3）△ABE不相似于△ADF，△ECF不相似于△ADF，△AEF不相似于△ADF，各边不成比例．

解答：解：（1）△ABE∽△ECF．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；

（2）当BE=CE=2时，△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF．
理由：∵△ABE∽△ECF，
∴AB：EC=AE：EF，
∵BE=CE，
∴AB：AE=BE：EF，
∵∠B=∠AEF=90°，
∴△ABE∽△AEF，
同理：△AEF∽△ECF．
∴当BE=CE=2，即E是BC中点时，△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF．

（3）△ABE不相似于△ADF，△ECF不相似于△ADF，△AEF不相似于△ADF．
∵∠AEF=90°，
∴AF＞AE，
∵∠B=∠D=90°，AB=AD，
∴AB：AD≠AE：AF，
∴△ABE不相似于△ADF．
同理：△ECF不相似于△ADF，△AEF不相似于△ADF．

点评：此题考查了相似三角形的判定与正方形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．