Question

如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，连结AE并延长，交CD于点F，交BC的延长线于点G，连结CE．
（1）求证：∠BAE=∠BCE；
（2）当EF=2，AE=4时，求FG的长；
（3）连结DG，如果DG⊥BD，EF=m，正方形ABCD的面积为S，请直接写出
S与m的函数表达式．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形的对角线线平分一组对角可得∠ABD=∠CBD，再利用“边角边”证明△ABE和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等证明即可；
（2）求出△DEF和△BEA相似，根据相似三角形对应边成比例求出

DF

AB

=

1

2

，从而得到点F是CD的中点，再利用“角边角”证明△ADF和△GCF全等，根据全等三角形对应边相等可得FG=AF；
（3）判断出△BDG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BC=CG，然后求出点F是CD的中点，再根据相似三角形对应边成比例求出AE=2EF，设正方形的边长为a，利用勾股定理列方程用m表示出a²，再根据正方形的面积公式解答即可．

解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABD=∠CBD，AB=BC，
在△ABE和△CBE中，

AB=BC ∠ABD=∠CBD BE=BE

，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE=∠BCE；

（2）解：∵正方形对边AB∥CD，
∴△DEF∽△BEA，
∴

DF

AB

=

EF

AE

=

2

4

=

1

2

，
∴点F是CD的中点，
在△ADF和△GCF中，

∠ADF=∠GCF=90° DF=CF ∠AFD=∠GFC

，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴FG=AF，
∵EF=2，AE=4，
∴AF=AE+EF=4+2=6，
∴FG=6；

（3）解：∵∠DBC=45°，DG⊥BD，
∴△BDG是等腰直角三角形，
∴BC=CG，
∴点F是CD的中点，
∵正方形对边AB∥CD，
∴△DEF∽△BEA，
∴

DF

AB

=

EF

AE

=

2

4

=

1

2

，
∴AE=2EF=2m，
∴AF=AE+EF=2m+m=3m，
设正方形的边长为a，则DF=

1

2

a，
由勾股定理得，a²+（

1

2

a）²=（3m）²，
解得a²=

36

5

m²，
所以，正方形ABCD的面积为S=

36

5

m²．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质与判断方法是解题的关键．