Question

15．CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上．
①如图1，若∠BCA=90°，∠α=90°，则BE=CF；
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件∠α+∠ACB=180°，使①中的结论仍然成立，并说明理由．
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α=∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段间数量关系的合理猜想：EF=BE+AF．

Answer 1

分析 （1）①求出∠BEC=∠AFC=90°，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
②求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可；
（2）求出∠BEC=∠AFC，∠CBE=∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE=CF，CE=AF即可

解答 解：（1）①如图1中，

E点在F点的左侧，
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，
∴∠BEC=∠AFC=90°，
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ACF}\\{∠BEC=AFC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，
故答案为=．

②∠α+∠ACB=180°时，①中的结论仍然成立；
证明：如图2中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，
∴∠CBE=∠ACF，
在△BCE和△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠ACF}\\{∠BEC=∠AEC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$
∴△BCE≌△CAF（AAS），
∴BE=CF，
故答案为∠α+∠ACB=180°．

（2）EF=BE+AF．
理由是：如图3中，

∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，
∴∠EBC=∠ACF，
在△BEC和△CFA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBC=∠FCA}\\{∠BEC=∠CFA}\\{BC=CA}\end{array}\right.$
∴△BEC≌△CFA（AAS），
∴AF=CE，BE=CF，
∵EF=CE+CF，
∴EF=BE+AF，
故答案为：EF=BE+AF．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．