【题目】已知:抛物线y=ax2﹣2(a﹣1)x+a﹣2(a>0).
(1)求证:抛物线与x轴有两个交点;
(2)设抛物线与x轴有两个交点的横坐标分别为x1 , x2 , (其中x1>x2).若y是关于a的函数,且y=ax2+x1 , 求这个函数的表达式;
(3)在(2)的条件下,结合函数的图象回答:若使y≤﹣3a2+1,则自变量a的取值范围为 .
【答案】
(1)证明:∵△=4(a﹣1)2﹣4a(a﹣2)=4>0,
∴抛物线与x轴有两个交点
(2)解:解方程得x= ,
∴x=1或x=1﹣ ,
∵a>0,x1>x2,
∴x1=1,x2=1﹣ ,
∴y=a(1﹣ )+1=a﹣1(a>0)
(3)0<a≤
【解析】(3)解:画出直线y=a﹣1和抛物线y=﹣3a2+1的图象,如图,
解方程得到a﹣1=﹣3a2+1得a=﹣1或a= ,
即直线y=a﹣1和抛物线y=﹣3a2+1的图象的交点坐标为(﹣1,﹣2)、( ,﹣
),
当﹣1≤a≤ 时,a﹣1≤﹣3a2+1,
而a>0,
∴a的取值范围为0<a≤ .
所以答案是0<a≤ .
【考点精析】利用抛物线与坐标轴的交点对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标.因此一元二次方程中的b2-4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点.当b2-4ac>0时,图像与x轴有两个交点;当b2-4ac=0时,图像与x轴有一个交点;当b2-4ac<0时,图像与x轴没有交点.
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【题目】如图,已知△ABC是等边三角形,以AB为直径作⊙O,交BC边于点D,交AC边于点F,作DE⊥AC于点E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)若△ABC的边长为4,求EF的长度.
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【题目】如图,从图 2 开始,每一个图形都是由基本图形“△”通过平移或翻折拼成的:
观察发现,图 10 中共有_________________个小三角形,图 n 共有____________个小三角形,
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC的中点,直角∠MDN绕点D旋转,DM,DN分别与边AB,AC交于E,F两点,下列结论:①△DEF是等腰直角三角形;②AE=CF;③△BDE≌△ADF;④BE+CF=EF,其中正确结论是( )
A. ①②④ B. ②③④
C. ①②③ D. ①②③④
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,⊙C的半径为r,P是与圆心C不重合的点,点P关于⊙C的限距点的定义如下:若P′为直线PC与⊙C的一个交点,满足r≤PP′≤2r,则称P′为点P关于⊙C的限距点,如图为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图.
(1)当⊙O的半径为1时.
①分别判断点M(3,4),N( ,0),T(1,
)关于⊙O的限距点是否存在?若存在,求其坐标;
②点D的坐标为(2,0),DE,DF分别切⊙O于点E,点F,点P在△DEF的边上.若点P关于⊙O的限距点P′存在,求点P′的横坐标的取值范围;
(2)保持(1)中D,E,F三点不变,点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动,⊙C的圆心C的坐标为(1,0),半径为r,请从下面两个问题中任选一个作答.
问题1 | 问题2 |
若点P关于⊙C的限距点P′存在,且P′随点P的运动所形成的路径长为πr,则r的最小值为 | 若点P关于⊙C的限距点P′不存在,则r的取值范围为 |
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【题目】对于二次函数y= x2﹣3x+4,
(1)配方成y=a(x﹣h)2+k的形式.
(2)求出它的图象的顶点坐标和对称轴.
(3)求出函数的最大或最小值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为原点,直线AB分别与x轴、y轴交于点B和A,与反比例函数的图象交于C、D,CE⊥x轴于点E,若tan∠ABO= ,OB=4,OE=2,点D的坐标为(6,m).
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)求△OCD的面积.
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【题目】对x,y定义一种新运算x[]y= (其中a,b均为非零常数),这里等式右边是通常的四则混合运算,例如:0[]2=
=﹣2b.
(1)已知1[]2=3,﹣1[]3=﹣2.请解答下列问题.
①求a,b的值;
②若M=(m2﹣m﹣1)[](2m﹣2m2),则称M是m的函数,当自变量m在﹣1≤m≤3的范围内取值时,函数值M为整数的个数记为k,求k的值;
(2)若x[]y=y[]x,对任意实数x,y都成立(这里x[]y和y[]x均有意义),求a与b的函数关系式?
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