Question

如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠ACB的角平分线，AD、CE相交于F．
（1）求∠AFE的度数；
（2）判断EF、DF的数量关系．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据∠B的大小可以求得∠BAC+∠BCA的值，再根据三角形外角性质可求得∠AEF的值，即可解题；
（2）易证∠AFG=∠CFG=∠AFE，即可求得△AEF≌△AGF和△AEF≌△AGF，根据全等三角形对应边相等即可解题．

解答：解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠ACB的角平分线，
∴∠AEF=∠B+∠BCE=∠B+

1

2

∠BCA，
∵∠EAF=

1

2

∠BAC，
∴∠AFE=180°-∠AEF-∠EAF=180°-∠B-

1

2

（∠BCA+∠BAC），
∵∠BCA+∠BAC+∠B=180°，∠B=60°，
∴∠BCA+∠BAC=120°，
∴∠AFE=180°-∠B-

1

2

（∠BCA+∠BAC）=60°；
（2）作∠AFC平分线交AC于点G，

∵∠AFE=60°，∴∠AFC=120°，
∴∠AFG=∠CFG=60°，
∴∠AFG=∠CFG=∠AFE，
∵在△AEF和△AGF中，

∠EAF=∠GAF AF=AF ∠AFE=∠AFG

，
∴△AEF≌△AGF，（ASA）
∴EF=FG，
∵在△CDF和△CGF中，

∠DCF=∠GCF CF=CF ∠CFD=∠CFG

，
∴△AEF≌△AGF，（ASA）
∴DF=FG，
∴EF=DF．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF和△AEF≌△AGF是解题的关键．