Question

如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB，延长AB交DC于点E，CF⊥AB于点F．
（1）求证：直线DE与⊙O相切；
（2）若EB=2，EC=4，求⊙O的半径及AC、AD的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OC，证明OC⊥DC即可解决问题．
（2）首先证明AD=2DC；进而证明AF=AD，CF=CD；运用射影定理求出CF的长即可解决问题．
（3）分别求出△ABC、半圆⊙O的面积，问题即可解决．

解答：解：（1）连接OC；
∵AD⊥DC，
∴∠DAC+∠ACD=90°；
又∵AC平分∠DAB，OA=OC，
∴∠DAC=∠CAO，∠CAO=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴∠ACD+∠ACO=90°，
即OC⊥DC，
∴直线DE与⊙O相切．
（2）∵EC是⊙O的切线，
∴EC²=EB•EA，而EC=4，EB=2，
∴EA=8，AB=8-2=6；
∴⊙O的半径为3．
∵AC平分∠DAE，
∴

AD

AE

=

DC

CE

，
∴

AD

DC

=

AE

EC

=

8

4

=2，
∴AD=2DC（设为x）；
∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CF⊥AB，
∴CD=CF；
在△ADC与△AFC中，

AC=AC CD=CF

，
∴△ADC≌△AFC（HL），
∴AF=AD=2x，BF=6-2x；
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
由射影定理得：CF²=AF•BF，
即x²=2x（6-2x），
解得：x=

12

5

，
∴AD=

24

5

；
由勾股定理得：AC2=(

24

5

)2+(

12

5

)2，
∴AC=

12 5

5

，
即⊙O的半径及AC、AD的长分别为3，

12 5

5

，

24

5

．
（3）∵S△ABC=

1

2

×6×

12

5

=

36

5

，
S半圆O=

1

2

×π×32=

9π

2

，
∴S阴影=

9π

2

-

36

5

．

点评：该题以圆为载体，以切线的判定、切割线定理、角平分线的性质、射影定理等几何知识点的应用为载体构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．