Question

某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB返回山脚下的B处．在同一平面内，若测得斜坡BD的长为100米，坡角∠DBC=10°，在B处测得A的仰角∠ABC=40°，在D处测得A的仰角∠ADF=85°，过D点作地面BE的垂线，垂足为C．

（1）求∠ADB的度数；

（2）求索道AB的长．（结果保留根号）

　

Answer 1

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

【专题】转化思想．

【分析】（1）利用点D处的周角即可求得∠ADB的度数；

（2）首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，进而可求出答案．

【解答】解：（1）∵DC⊥CE，

∴∠BCD=90°．

又∵∠DBC=10°，

∴∠BDC=80°．                       

∵∠ADF=85°，

∴∠ADB=360°﹣80°﹣90°﹣85°=105°． 

（2）过点D作DG⊥AB于点G．             

在Rt△GDB中，

∠GBD=40°﹣10°=30°，

∴∠BDG=90°﹣30°=60°．            

又∵BD=100米，

∴GD=BD=100×=50米．

∴GB=BD×cos30°=100×=50米．   

在Rt△ADG中，∠ADG=105°﹣60°=45°，

∴GD=GA=50米．                       

∴AB=AG+GB=（50+50）米．                

答：索道长（50+50）米．              

【点评】本题考查仰角的定义及直角三角形的解法，首先构造直角三角形，再借助角边关系、三角函数的定义解题．