Question

如图，直线y=-

3

4

x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征,等腰直角三角形

专题：

分析：分三种情况分别讨论求得；①当∠PAB=90°时，过P作PD⊥x轴于D，通过△ABO≌△PAD即可求得；②当∠PBA=90°时，过P作PE⊥y轴于E，通过△ABO≌△BPE即可求得；③当∠APB=90°时，过P作PG⊥x轴，过B作BH⊥PG，通过△PBH≌△APG即可求得；

解答：解：存在点P．理由如下：
∵直线y=-

3

4

x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，
∴A（4，0），B（0，3）；
①当∠PAB=90°时，过P作PD⊥x轴于D，如图1，

∵∠ABO+∠OAB=90°，∠PAD+∠OAB=90°，
∴∠ABO=∠PAD，
在△ABO和△PAD中，

∠ABO=∠PAD ∠AOB=∠PDA=90° BA=PA

，
∴△ABO≌△PAD（AAS），
∴AD=OB，PD=OA，
∴OD=OA+OB=4+3=7，PD=4，
∴P的坐标为（7，4）；
②当∠PBA=90°时，过P作PE⊥y轴于E，如图2，

同理可证△ABO≌△BPE，
∴BE=OA．PE=OB，
∴OE=OB+BE=3+4=7，PE=3，
∴P的坐标为（3，7）；
③当∠APB=90°时，如图3，过P作PG⊥x轴，过B作BH⊥PG，


∵△PAB为等腰直角三角形，
∴PA=PB，∠APB=90°，
∴∠BPH+∠APG=90°，
∵∠BPH+∠PBH=90°，
∴∠APG=∠PBH，
在△PBH和△APG中，

∠APG=∉PBH ∠PHB=∠AGP=90° PB=PA

，
∴△PBH≌△APG（AAS），
∴BH=PG，PH=GA，
设BH=PG=x，PH=GA=y，
则x+y=4，x-y=3，
解得x=

7

2

，y=

1

2

，
∴P的坐标为（

7

2

，

7

2

）．
综上，P的坐标为（7，4）或（3，7）或（

7

2

，

7

2

）；

点评：此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形性质，作出辅助线构建全等三角形是解本题的关键．