Question

已知，如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：BC=BD；
（2）若AB=8，CD=4

3

，求BC和AD的长．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理

专题：

分析：（1）直接证明

BC

=

BD

，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；求出OE=2，AE=6，BE=2；此为解题的关键；运用射影定理即可解决问题．

解答：解：（1）∵直径AB⊥CD，
∴

BC

=

BD

，
∴BC=BD．
（2）如图，连接OD；
∵直径AB⊥CD，AB=8，
∴DE=CE=2

3

，OD=4，
由勾股定理得：
OE²=OD²-DE²，
∴OE=2，AE=6，BE=2；
由射影定理得：
BD²=BE•AB，AD²=AE•AB，
∴BD=4，AD=4

3

，
∴BC=BD=4，AD=4

3

．

点评：该题主要考查了垂径定理、勾股定理及其应用问题；作辅助线，构造直角三角形是解题的关键．