Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B=50°，∠ACD=25°，∠BAD=65°，求证：
（1）AD=CD；
（2）AB是⊙O的直径．

Answer 1

考点：圆周角定理

专题：证明题

分析：（1）连结BD，根据圆周角定理得∠1=∠ACD=25°，再由∠ABC=50°可计算出∠2=50°-25°，则

AD

=

CD

，然后根据圆心角、弧、弦的关系即可得到
AD=CD；
（2）根据三角形内角和定理可计算出∠ADC=180°-∠1-∠BAD=90°，则根据圆周角的推理即可得到AB为⊙O的直径．

解答：证明：（1）连结BD，如图，
∵∠1=∠ACD=25°，
而∠ABC=50°，
∴∠2=50°-25°，
∴∠1=∠2，
∴

AD

=

CD

，
∴AD=CD；
（2）∵∠BAD=65°，∠1=25°，
∴∠ADC=180°-∠1-∠BAD=90°，
∴AB为⊙O的直径．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．