【题目】在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点分别为A(0,1),B(-1,0),C(0,-1),D(1,0).对于图形M,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为正方形ABCD边上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最大值,那么称这个最大值为图形M的“正方距”,记作.
(1)已知点,
①直接写出的值;
②直线与x轴交于点F,当取最小值时,求k的取值范围;
(2)的圆心为 ,半径为1.若,直接写出t的取值范围.
【答案】(1)①5.②见解析;(2).
【解析】
(1) ①根据题意 是指点 到正方形上动点的最大距离,所以当点与点重合时,此时最大为;
②根据的最小值是,可知,所以当直线经过和,即可求出的值;
(2)根据圆心 ,半径为 ,可知圆在直线的直线上动,因为圆上动点到正方形边上动点的最大值,所以可以转化成 圆的半径圆心到正方形边上动点,因为,可以算出的分界点,由于圆心到点Q的最大值存在一种情况时,可以计算出,刚好,即可求出符合题意 的取值范围.
解:1.①由根据题意 是指点 到正方形上动点的最大距离,所以当点与点重合时,此时最大,即
②如图所示:
∵ .
当点的横坐标在 时,,
当点的横坐标在时, ,
∵要取最小值,
∴
∴符合题意的点F满足
∴当直线经过点的坐标为和点的坐标为是分别求得 .
∴ 或 .
结合函数图象可得或.
(2)由题意可知:
时
可计算当时,
当圆心在轴左侧时
可以考虑到当时,
利用两点之间的距离公式:
即
求得:,
当时,,即
当圆心在轴右侧时
可以考虑到当时,
利用两点之间的距离公式:
即
求得:,
当时,,即
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【题目】如图,抛物线的对称轴为,与轴的一个交点在和之间,其部分图象如图所示,则下列结论:
;
;
点、、是该抛物线上的点,则;
;
(为任意实数).
其中正确结论的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】如图,抛物线过点和点,连结AB交y轴于点C.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)点P在线段AB下方的抛物线上运动,连结AP,BP. 设点P的横坐标为m,△ABP的面积为s.
①求s与m的函数关系式;
②当s取最大值时,抛物线上是否存在点Q,使得S△ACQ=s. 若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】已知等边△ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.
(1)若点P在一边BC上,如图①,此时h3=0,求证:h1+h2+h3=h;
(2)当点P在△ABC内,如图②,以及点P在△ABC外,如图③,这两种情况时,上述结论是否成立?若成立,请予以证明;若不成立,h1,h2,h3与h之间又有怎样的关系,请说出你的猜想,并说明理由.
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【题目】如图,经过原点且与两坐标轴分别交于点和点,点的坐标为,点的坐标为,解答下列各题:
(1)求圆心的坐标;
(2)在上是否存在一点,使得是等腰三角形?若存在,请求出的度数;若不存在,请说明理由.
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【题目】为了鼓励节能降耗,某市规定如下用电收费标准:每户每月的用电量不超过120度时,电价为a元/度;超过120度时,不超过部分仍为a元/度,超过部分为b元/度.已知某用户五月份用电115度,交电费69元,六月份用电140度,交电费94元.
(1)求a,b的值;
(2)设该用户每月用电量为x(度),应付电费为y(元);
①分别求出0≤x≤120和x>120时,y与x之间的函数关系式;
②若该用户计划七月份所付电费不超过83元,问该用户七月份最多可用电多少度?
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+c(a≠0)与y轴交于点A,将点A向右平移2个单位长度,得到点B.直线与x轴,y轴分别交于点C,D.
(1)求抛物线的对称轴.
(2)若点A与点D关于x轴对称.
①求点B的坐标.
②若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.
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【题目】一个不透明的口袋里面有13个完全相同的小球,在每一个小球上书写一个汉字,这些汉字组成一句话:“知之为知之,不知为不知,是知也”.随机摸出一个小球然后放回,再随机摸取一个小球,两次取出的小球都是“知”的概率是______.
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