Question

19．如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，交BC于D，AB于E．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）求AE的长．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形可得△ABC是直角三角形；
（2）根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，设AE=x，则EC=4-x，根据勾股定理可得x²+3²=（4-x）²，再解即可．

解答 （1）证明：∵△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，
又∵4²+3²=5²，
即AB²+AC²=BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（2）证明：连接CE． 
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC=EB，
设AE=x，则EC=4-x．
∴x²+3²=（4-x）²．
解之得x=$\frac{7}{8}$，即AE的长是$\frac{7}{8}$．

点评 此题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．