Question

【题目】如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AP是边BC上的高

(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；

(2)求证：∠DEF=∠DPF

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

（1）根据三角形的中位线定理可得EF∥AB，DE∥AC，再根据平行四边形的判定证明即可；

（2）根据平行四边形的对角相等可得∠DEF＝∠BAC，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DP＝AD，FP＝AF，再根据等边对等角可得∠DAP＝∠DPA，∠FAP＝∠FPA，然后求出∠DPF＝∠BAC，等量代换即可得到∠DEF＝∠DPF．

证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，

∴DE、EF是△ABC的中位线，

∴EF∥AB，DE∥AC，

∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，

∴∠DEF＝∠BAC，

∵D，F分别是AB，CA的中点，AP是边BC上的高，

∴DP＝AD，FP＝AF，

∴∠DAP＝∠DPA，∠FAP＝∠FPA，

∵∠DAP＋∠FAP＝∠BAC，∠DPA＋∠FPA＝∠DPF，

∴∠DPF＝∠BAC，

∴∠DEF＝∠DPF．