Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2m2x+2交y轴于点A，交直线x=4于点B．

(1)抛物线的对称轴为x=____________(用含m的代数式表示)

(2)若AB∥x轴，求抛物线的解析式．

(3)记抛物线在A、B之间的部分为图象G(包含A、B两点)，若对于图象G上任意一点P(xp，yp)，都有yp≤2，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）m（2）y=2x2-8x+2（3）m＜0或m≥2

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴为直线x=-，代入数据即可得出结论；
（2）由AB∥x轴，可得出点B的坐标，进而可得出抛物线的对称轴为x=2，结合（1）可得出m=2，将其代入抛物线表达式中即可；
（3）分m＞0及m＜0两种情况考虑，依照题意画出函数图象，利用数形结合即可得出m的取值范围．

解：（1）抛物线的对称轴为

故答案为：m．
（2）当x=0时，y=mx2-2m2x+2=2，
∴点A（0，2）．
∵AB∥x轴，且点B在直线x=4上，
∴点B（4，2），抛物线的对称轴为直线x=2，
∴m=2，
∴抛物线的表达式为y=2x2-8x+2．
（3）当m＞0时，如图1．

∵A（0，2），
∴要使0≤xp≤4时，始终满足yp≤2，只需使抛物线y=mx2-2m2x+2的对称轴与直线x=2重合或在直线x=2的右侧．
∴m≥2；
当m＜0时，如图2，

在0≤xp≤4中，yp≤2恒成立．

综上所述，m的取值范围为m＜0或m≥2．