Question

【题目】函数上的定点是指，一个含参数的函数无论参数取何值，函数的图象都过某一个点，这个点称为定点．例如，在函数y＝kx中，当x＝0时，无论参数k取何值，函数值y＝0，所以这个函数过定点（0，0）．

（1）分别求函数y＝kx+2k和y＝kx2﹣kx+2019的定点；

（2）若过原点的两条直线OA、OB分别与二次函数y＝x2交于点A（m，m2）和点B（n，n2）（mn＜0）且OA⊥OB，试求直线AB上的定点；

（3）若直线CD：y＝kx+2k+5与抛物线y＝x2交于C、D两点，试在抛物线y＝x2上找一定点E，使∠CED＝90°，求点E的坐标，并求出点E到直线CD的最大距离．

Answer 1

【答案】（1）定点（﹣2，0）；定点（1，2019）、（0，2019）；（2）定点为E（2，4）；

【解析】

（1）y＝kx+2k＝k（x+2），当x＝﹣2时，y＝0，故过定点（﹣2，0），即可求解；

（2）直线AB的表达式为： ，则tan∠AOM＝tan∠OBM，即： ，解得 ，故直线AB的表达式为： ，当x＝0时，y＝﹣2，故直线AB过点（0，﹣2）；

（3）直线CD的表达为：y＝（m+n）x﹣mn，则m+n＝k，mn＝﹣2k﹣5，tan∠CEM＝tan∠EDN，即：t2+（m+n）t+mn＝﹣1，即：t2﹣4+（t﹣2）k＝0，即可求解．

解：（1）y＝kx+2k＝k（x+2），当x＝﹣2时，y＝0，故过定点（﹣2，0）；

y＝kx2﹣kx+2019＝ ，当x＝0或1时，y＝2019，故过定点（1，2019）、（0，2019）；

（2）将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：

直线AB的表达式为：

分别过点A、B作x轴的垂线于点M、N，则∠AOM＝∠OBN，

则tan∠AOM＝tan∠OBN，即： ，解得：

故直线AB的表达式为： ，当x＝0时，y＝2，

故直线AB过点（0，2）；

（3）设点C、D的坐标分别为：（m，m2）、（n，n2），

同理可得：直线CD的表达为：

则m+n＝k，mn＝﹣2k﹣5，

设点E（t，t2），

同理可得：tan∠CEM＝tan∠EDN，即：

化简得：t2+（m+n）t+mn＝﹣1，

即：t2﹣4+（t﹣2）k＝0，

当t＝2时，上式横成立，

故定点为E（2，4）；

直线CD：y＝kx+2k+5过定点H（﹣2，5），

∵点到直线的距离≤EH，

故点E到直线的最大距离为