Question

14．在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，G与I分别是△ABC的重心和内心，若GI∥BC，请找出a、b、c之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 连接AG、AI且延长分别交BC于D、E，连接IC，则AD为中线，AE、CI为角平分线．根据三角形重心的性质及GI∥BC可得到$\frac{AI}{IE}$=$\frac{AG}{GD}$．在△CAE中，利用相似三角形的性质定理易得到$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AI}{IE}$，即AC=2CE．同理AB=2BE．得到AB+AC=2（BE+CE）=2BC．

解答 解：2a=b+c，证明如下：
连接AG、AI且延长分别交BC于D、E，连接IC，则AD为中线，AE、CI为角平分线．
∵GI∥BC，
∴$\frac{AI}{IE}$=$\frac{AG}{GD}$=2．
在△CAE中，有$\frac{AC}{CE}$=$\frac{AI}{IE}$=2，即AC=2CE，
同理AB=2BE．
∴AB+AC=2（BE+CE）=2BC，
即2a=b+c．

点评 本题考查三角形的五心．本题综合性较强，考查知识点较深，是竞赛类题目的首选，解决本题的关键是掌握三角形五心的性质．