Question

11．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G．若AE=4$\sqrt{3}$，则DG的长为（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD∥BE，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出△ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，再由AAS证得△ADF≌△ECF，得出AF=EF，求出AF的长，得到AG的长，在Rt△ADG中，由AD与AG的长，利用勾股定理即可求出DG的．

解答 解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE=∠DFA，
∴∠DAE=∠DFA，
∴AD=FD，
∵DG⊥AE，
∴AG=GF=$\frac{1}{2}$AF，
又F为DC的中点，
∴DF=CF，
∴AD=DF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠E}\\{∠ADF=∠ECF}\\{DF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF=EF，
∴AF=$\frac{1}{2}$AE=2$\sqrt{3}$，
∴AG=$\sqrt{3}$，
∴DG=$\sqrt{A{D}^{2}-A{G}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1．
故选C．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解问题的关键．