Question

19．已知三角形中有一个角为30度，有两条边长为8cm和6$\sqrt{3}$cm，则这个三角形的第三条边长是9+$\sqrt{37}$、9-$\sqrt{37}$、2$\sqrt{7}$、4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{23}$cm．

Answer 1

分析 根据题意画出图形进而利用30°的角不确定，分当∠B=30°，AB=6$\sqrt{3}$，AC=8；以及当∠B=30°，AB=6$\sqrt{3}$，AC=8；当∠B=30°，AB=8，BC=6$\sqrt{3}$；当∠B=30°，AB=8，AC=6$\sqrt{3}$，分别得出即可．

解答 解：如图1所示：过点A作AD⊥BC于点D，当∠B=30°，AB=6$\sqrt{3}$，AC=8，
则AD=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，故BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=9，DC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
故BC=9+$\sqrt{37}$，
如图2所示：过点A作AD⊥BC于点D，当∠B=30°，AB=6$\sqrt{3}$，AC=8，
则AD=$\frac{1}{2}$AB=3$\sqrt{3}$，故BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=9，DC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{37}$，
故BC=9-$\sqrt{37}$，
如图3所示：过点A作AD⊥BC于点D，当∠B=30°，AB=8，BC=6$\sqrt{3}$，
则AD=$\frac{1}{2}$AB=4，故BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，DC=2$\sqrt{3}$，
故AC=$\sqrt{A{D}^{2}+D{C}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
如图4所示：过点A作AD⊥BC于点D，当∠B=30°，AB=8，AC=6$\sqrt{3}$，
则AD=$\frac{1}{2}$AB=4，故BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，DC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{23}$，
故BC=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{23}$，
综上所述：这个三角形的第三条边长是：9+$\sqrt{37}$、9-$\sqrt{37}$、2$\sqrt{7}$、4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{23}$．
故答案为：9+$\sqrt{37}$、9-$\sqrt{37}$、2$\sqrt{7}$、4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{23}$．

点评 此题主要考查了勾股定理，根据题意分类讨论得出是解题关键．