【题目】(1)（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，请判断线段BE与AF的数量关系并写出推断过程；
(2)（拓展研究）在(1)的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
(3)（结论运用）在(1)(2)的条件下，若△ABC的面积为2，当正方形CDEF旋转到B，E，F三点在同一直线上时，请直接写出线段AF的长．
【答案】（1）BE＝
AF．见解析；（2）无变化．证明见解析；（3）线段AF的长为
或
．
【解析】
（1）首先证明△ADB是等腰直角三角形，推出AB=AD，再证明AF=AD即可解决问题；
（2）先利用三角函数得出
，
，推出
，夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结论；
(3)分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=，BF=
，即可得出BE=-，借助（2）得出的结论，当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．
（1）在Rt△ABC中，AB＝AC，
根据勾股定理得，BC＝
＝AB，
又∵点D为BC的中点，
∴AD＝
BC＝
AB，
∵四边形CDEF是正方形，
∴AF＝EF＝AD＝AB＝BE，
∴BE＝AF．
（2）无变化．
证明：如图2，在Rt△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴sin∠ABC＝
＝，
在正方形CDEF中，∠FEC＝∠FED＝45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC＝，
∴
，
∵∠FCE＝∠ACB＝45°，
∴∠FCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，
∴∠FCA＝∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴
，
∴BE＝AF，
∴线段BE与AF的数量关系无变化；
（3）当点E在线段AF上时，如图2，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，
∴BE=BF-EF=-，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=
-1，
当点E在线段BF的延长线上时，如图3，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=，
∴，
∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根据勾股定理得，BF=，
∴BE=BF+EF=+，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=+1．
即：当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为-1或+1．
天天向上一本好卷系列答案
小学生10分钟应用题系列答案科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AC是直径，点D是AC延长线上一点，且∠DBC＝∠BAC，
．
（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求
的值；（3）如图，直径AC=5，
，求△ABF面积．
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【题目】有以下六个命题，①同旁内角互补；②若x2＝4，则x＝2；③
；④平分弦的直径垂直于弦；⑤等弧所对的圆心角相等；⑥相等的圆心角所对的弧相等．从这六个命题中随机任意抽取一个命题是真命题的概率为_____．
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【题目】如图，直线
与x轴交于点
，与y轴交于点B，抛物线
经过点
．
求k的值和抛物线的解析式；
为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点
．
若以O,B,N,P为顶点的四边形OBNP是平行四边形时,求m的值.
当
时,求m的值.
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【题目】在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期购买课外书的费用情况，并将结果绘制成如图所示的统计表和扇形统计图，请根据相关信息，解答下列问题：(直接填写结果)
费用(元) | 20 | 30 | 50 | 80 | 100 |
人数 | 6 | a | 10 | b | 4 |
(1)本次调查获取的样本数据的众数是 元，中位数是 元；
(2)扇形统计图中，“50元”所对应的圆心角的度数为 度，该班学生购买课外书的平均费用为 元；
(3)若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期购买课外书花费50元的学生有 人．
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【题目】折纸飞机是我们儿时快乐的回忆，现有一张长为290mm，宽为200mm的白纸，如图所示，以下面几个步骤折出纸飞机：（说明：第一步：白纸沿着EF折叠，AB边的对应边A′B′与边CD平行，将它们的距离记为x；第二步：将EM，MF分别沿着MH，MG折叠，使EM与MF重合，从而获得边HG与A′B′的距离也为x），则PD=______mm．
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【题目】下列说法正确的是( )
A. “买一张电影票，座位号为偶数”是必然事件
B. 若甲、乙两组数据的方差分别为S甲2＝0.3，S乙2＝0.1，则甲组数据比乙组数据稳定
C. 一组数据2，4，5，5，3，6的众数是5
D. 一组数据2，4，5，5，3，6的平均数是5
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【题目】为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于点D，C在BD上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC.能根据所测数据，求出A、B间距离的有( )
A. 4组B. 3组C. 2组D. 1组
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【题目】中华文化，源远流长，在文学方面，《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”，某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题做法全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制城如图所示的两个不完整的统计图，请结合图中信息解决下列问题：
（1）本次调查所得数据的众数是 部，中位数是 部，扇形统计图中“1部”所在扇形的圆心角为 度．
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）没有读过四大古典名著的两名学生准备从四大固定名著中各自随机选择一部来阅读，则他们选中同一名著的概率为 ．
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