Question

13．如图，BE与CD相交于点A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．
（1）试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系？
（2）若∠B：∠D：∠F=2：4：x．求x的值．

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据对顶角相等和三角形内角和定理得到∠D+∠1=∠F+∠3，∠B+∠4=∠F+∠2，然后把两式相加即可得到∠F与∠B、∠D之间的关系；
（2）设∠B=2a，则∠D=4a，∠F=ax，利用（1）中的结论得到2ax=2a+4a，然后解关于x的方程即可．

解答 解：（1）∵CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠D+∠1=∠F+∠3，
∠B+∠4=∠F+∠2，
∴∠B+∠D+∠1+∠4=2∠F+∠3+∠2，
∴∠F=$\frac{1}{2}$（∠B+∠D）；
（2）当∠B：∠D：∠F=2：4：x时，设∠B=2a，则∠D=4a，∠F=ax，
∵2∠F=∠B+∠D，
∴2ax=2a+4a
∴2x=2+4，
∴x=3．

点评 本题考查了三角形内角和定理：通过三角形内角和为180°列等量关系．也考查了角平分线的定义．