Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中抛物线经过原点，且与直线交于则、两点．

（1）求直线和抛物线的解析式；

（2）点在抛物线上，解决下列问题：

①在直线下方的抛物线上求点，使得的面积等于20；

②连接，作轴于点，若和相似，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①的坐标为或；②点的坐标为：或或或．

【解析】

（1）把代入即可求出一次函数解析式，把、代入即可求出二次函数解析式；

（2）①如图1，作轴，交于点，设，则，表示出PQ、AB的长，然后根据三角形的面积公式列式求解即可；

②先根据勾股定理及其逆定理求出，然后分当时和当时两种情况求解即可．

（1）把代入，得

，

，

直线解析式为，

∵抛物线经过原点，

∴c=0．

把、代入，得

由，

得抛物线解析式为；

（2）①如图1，作轴，交于点，

设，则，

，AB=6+4=10，

，

解得，，

点的坐标为或；

②设，如图2，

由题意得：，，，

，

，

，

当时，，

即，

整理得，

解方程，得(舍去)，，此时点坐标为；

解方程得(舍去)，，此时点坐标为；

当时，，即，

整理得，

解方程，得(舍去)，，此时点坐标；

解方程，得(舍去)，，此时点坐标为；

综上所述：点的坐标为：或或或．