Question

如图，⊙O₁、⊙O₂外切于点P，A是⊙O₁上一点，直线AC切⊙O₂于点C，交⊙O₁于点B，直线AP交⊙O₂于点D．
（1）请你判断∠BPC=∠CPD是否成立；
（2）将“⊙O₁、⊙O₂外切于点P”改为“⊙O₁、⊙O₂内切于点P”，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论．

Answer 1

考点：相切两圆的性质

专题：

分析：（1）如图1，作辅助线；证明∠BPM=∠A；证明∠MPC=∠MCP；由∠BPC=∠A+∠ACP，∠CPD=∠A+∠ACP，得到∠BPC=∠CPD．
（2）证明∠DCP=∠CBP=90°；证明∠BCP=∠CDP，即可解决问题．

解答：解：（1）∠BPC=∠CPD成立；理由如下：
如图1，过点P作两圆的公切线MP，交AC与点M；则∠BPM=∠A；
∵MC为⊙O₂的切线，
∴MP=MC，∠MPC=∠MCP；
∴∠BPC=∠CPD．
（2）如图2，（1）中的结论是否仍然成立；理由如下：
连接CD；
∵AP、DP分别为⊙O₁、⊙O₂的直径，
∴∠DCP=∠CBP=90°；
∵BC为⊙O₂的切线，
∴∠BCP=∠CDP，
∴∠BPC=∠CPD．

点评：该题主要考查了相切两圆的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用圆的切线的性质定理、圆周角定理等几何知识点来分析、判断、解答．